Archives mensuelles : juillet 2014

Les Problèmes DUDU

Dans cet article, je vous présente mon expérimentation des problèmes DUDU des frères Durand. Vous trouverez toutes les références de ces travaux sous licence CC en fin d’article.

Comme Arnaud Durand est très partageur et a de très bonnes idées, il tient un site Mathix.org, sur lequel il présente une grande partie de son travail. Ces travaux sont rarement réalisés seuls et au-delà du partage, on sent une très forte volonté de travailler en équipe. J’avais donc remarqué l’apparition de ses problèmes DUDU grâce à son compte Twitter @durandarno. Nous en avions discuté avec Stéphanie de Vanssay (alias @2vanssay sur Twitter) lors de notre rencontre en juillet 2013.

Un détail avait quand même piqué ma curiosité : était-ce réellement des jumeaux ? Ou alors un excellent montage ? La réponse n’est pas bien difficile et se trouve dans le paragraphe précédent, je vous laisse chercher et répondre par vous-même.

Et puis, il faut avouer que je me suis rendu compte qu’il y a des profs qui osent des trucs incroyables. Pour moi qui suit jeune prof, cela donne envie de dépasser pleins de frontières et pour cela Twitter est un endroit magique.

J’ai donc décidé de tenter l’expérience de ces problèmes DUDU. Tout simplement avec le premier épisode, avec le soutien d’Arnaud qui a non seulement les compétences techniques pour la réalisation des films mais également de grandes qualités de formateur et de pédagogue pour tous les étages. En profiter (au bon sens du terme), c’était donc rendre honneur à son travail.

Mes élèves étaient en 4ème, dans une classe où j’étais professeur principal. Peu travailleurs, volontiers chahuteurs et d’un niveau assez faibles, ils étaient le public idéal pour essayer quelque chose de différent. Redonner de la motivation à l’enseignant et à la classe, assouvir la curiosité des deux parties avec un tel projet. Se lancer ainsi relevait pour moi d’une autoformation en étant accompagné.

J’avais envie de voir la curiosité dans le regard des élèves, envie de voir des élèves perdus s’insestir. J’avais envie de le faire pour moi, pour les élèves. Et cela était possible avec un accompagnement de qualité, le rêve.

Le contact a donc été pris avec Arnaud. D’abord par Twitter. Vous noterez que grâce à la licence sous laquelle il a placé ses travaux, il n’est même pas nécessaire de le contacter pour utiliser ses travaux ! Nous sommes ensuite rapidement passés au mail, permettant l’envoi de fiches et de discuter de façon plus approfondie. Enfin, grâce à Skype, à quelques jours de mon saut dans le grand bain, j’ai pu recevoir les derniers encouragements nécessaires à me rassurer. Cette discussion a été très enrichissante et a permis une ouverture vers d’autres possibles : l’évaluation par compétence, l’évaluation positive, le contrat de confiance à la Antibi.

Puis, je suis passé à la pratique après une préparation aussi minutieuse que possible (mais, là j’atteins rapidement mes limites!) Il y aurait trois séances à une semaine d’intervalle chacune. Cela tombait en plein milieu d’une inspection qui a vu d’un bon œil ce travail. La première séance était le jour d’une autre première, celles des #KopfRechnen (un billet à venir là-dessus).

Je suis arrivé tôt et j’ai placé les tables en îlot. J’ai préparé les trois ordinateurs permettant aux élèves de consulter librement des ressources de leur choix. La vidéo tournait déjà sur le VPI lorsque les élèves sont entrés dans la salle :

J’avais amené pleins de pièces de 1ct et des échiquiers (j’y reviendrai). Les élèves devaient donc sur les trois semaines, rechercher une solution au(x) problème(s) posé(s) par la saynette et présenter lors de la dernière séance leurs résultats à la classe à l’aide d’un poster affiché ensuite. En classe, j’ai autorisé l’utilisation des smartphones. Les élèves avaient accès aux ordinateurs. A la maison, ils pouvaient procéder comme ils le souhaitaient.

Voici leurs productions :

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Selon le souhait d’Arnaud, j’ai pris soin de masquer certains éléments de réponse.

Maintenant que le travail est terminé et que j’ai un peu de recul, je peux tirer un certain nombre d’enseignements de cette expérimentation. A chaud, j’étais fortement déçu mais en re-regardant les productions en fin d’année, je me suis dis que l’objectif principal était atteint : les élèves avaient fait des mathématiques autrement. Ils avaient réfléchi et produit des choses même si celles-ci n’étaient pas forcément celles que j’attendais.

Les élèves ont eu d’excellentes notes pour ce travail et ils en étaient ravis. Ils étaient tous en réussite car ils ont produit. Ils ont fait des maths, comme un mathématicien fait des maths : ils ont cherché avec tous les moyens possibles, ils ont échangé, ils ont parfois trouvé et ils ont toujours exposé leurs travaux. Par contre cela a mis en évidence la difficulté du travail en équipe, en particulier lorsqu’il s’agit d’un travail peu guidé sur le long terme.

Pour ma part, j’ai tout d’abord l’immense satisfaction d’avoir essayé ! Cette expérience a été très enrichissante car j’ai tenté des choses différentes que je n’aurais jamais osées seul, de la même façon que mon premier travail avec la video (Qui veut gagner des millions) avait été impulsé par une formation. La prochaine fois, car je recommencerai, je ne donnerai pas dans ce cas précis d’échiquiers et de pièces. Cela a trop orienté les élèves vers une méthode de comptage. Cela a bridé l’imagination des élèves. Je supprimerai également les propositions de sous-questions que j’avais proposées (du style, quelles sont les questions posées ? , quelles sont les données de l’énoncé ?) car les élèves trop scolaires ont cru que c’était uniquement à cela qu’il fallait répondre.

Je recommencerai car il est fondamental pour les élèves d’apprendre à travailler à plusieurs et d’être acteurs de leur apprentissage.
Je recommencerai car il a été super de travailler avec un autre collègue d’un autre coin de la France.
Je recommencerai car les élèves doivent être formés à avoir un regard critique sur ce qu’ils voient à la télé.
Je recommencerai car une telle activité permet entre autre d’éduquer au numérique.
Merci à la 4D !
Merci aux Dudu !

Les élèves au travail :

2013-11-29 11.38.00-1  2013-11-29 11.38.41 2013-11-29 11.38.51

Voici les liens :
Les problèmes DUDU (deux saisons à ce jour)
Mathaloué
Le site d’Arnaud
avec plein d’autres bonnes idées
Les résultats des TraAM sur les problèmes ouverts avec les TICE.

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Le puzzle d’Airy

La construction, dessin réalisé par Serge Cantat.

Il est fort courant que les professeurs de mathématiques introduisent le théorème de Pythagore par un puzzle. Nous sommes en classe de 4ème.  Il est donc sympathique de commencé l’année avec un théorème nouveau, souvent leur premier théorème des élèves, que l’on va visualiser à l’aide d’un puzzle.
Il existe de nombreux puzzles permettant cela. Mais parmi ceux-là, j’avais découvert celui d’Airy. Avant de vous expliquer brièvement la spécificité de ce puzzle, je souhaiterais vous dire comment j’ai trouvé ce puzzle. Cela aurait pu être au fond d’un grenier poussiéreux ou dans les recoins d’une bibliothèque universitaire mais non.

Ce puzzle et moi avons fait connaissance sur un site de rencontre d’un genre particulier. Un site où se rencontrent professionnels et amateurs. Un site où se côtoient ceux qui en vivent et ceux qui les aiment. Un site où ceux qui en vivent, les font, et les aiment, cherchent (ils cherchent toujours ! ) à expliquer aux autres de façon simple ce qu’ils font dans leurs bureaux.
Ce site, c’est Images des Mathématiques. Certains mathématiciens y publient des billets divers et variés de niveaux différents pour vulgariser les mathématiques. J’y ai trouvé bien des idées pour faire des « maths jolies » dans mes cours de mathématiques DNL en allemand. Pendant l’année scolaire écoulée, j’ai utilisé leurs défis de la semaine que j’ai proposé à mes 6èmes lorsque le niveau le permettait.

Une fois lu l’article sur le découpage d’Airy, il me fallait m’approprier le contenu et réfléchir à ce que je voulais en faire. La spécificité de ce puzzle est que seules des rotations des pièces autour d’un point suffisent à former un carré à partir de la figure de départ. Mais souvent les élèves séparent complètement les trois pièces de sorte que cela devient plus difficile. Et bien que ce tangram ne comporte que trois pièces, il se révèle plus difficile qu’il n’en a l’air (ou l’aire ? )

Car c’est bien d’aires qu’il est question dans le théorème de Pythagore : si l’on trace un carré le long de chaque coté d’un triangle rectangle, le théorème affirme que l’aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux autres carrés. Pour manipuler cela, vous pourriez vous rendre par exemple au musée des mathématiques.

Ou bien faire tourner les triangles autour des points d’ancrage de la figure jaune ci-dessous pour reconstruire le carré (pour le faire vous même, utilisez le fichier .ggb fourni en fin d’article).

Airy from Adrien Guinemer on Vimeo.

Dans mon cours, je proposais ensuite aux élèves de vérifier le théorème de Pythagore comme le propose l’auteur dans son article original mais en didactisant les choses pour qu’elles se rapprochent du formalisme utilisé habituellement en classe de quatrième.

Source :
Article original de Serge Cantat : Publié sur le site Images des Mathématiques du CNRS.
Fichier GeoGebra créé par Christophe Boilley pour l’article cité.
Illustration de Serge Cantat issue du même article.

Comme d’habitude, voici ma fiche élève correspondant à l’activité. Des questions ? Laissez un commentaire !

Airy Airy

Un musée pour les mathématiques

1 Triangle de Penrose dans un musée

Dernièrement, Cédric Villani a annoncé sa volonté de créer un musée des mathématiques sur le site de l’institut Poincaré à Paris : http://www.sciencesetavenir.fr/fondamental/20140627.OBS1981/cedric-villani-annonce-la-creation-d-un-musee-des-mathematiques-a-paris.html

2 Cédric Villani

Mais sachez qu’il existe d’ors et déjà au moins deux autres musées des mathématiques dans le monde :

Une visite au Mathematikum était au programme d’un séjour de deux jours autour de Francfort avec des 4èmes et des 3èmes du collège en Avril dernier.
Je n’avais pas pu me rendre au musée avant et j’étais un peu tendu : cela allait-il être à la hauteur de notre public exigeant ? Les expériences seraient-elles ludiques ? Ma déception devant l’exposition « maths » de la cité des sciences et de l’industrie serait-elle gommée ?

Et bien, oui, un grand OUI même ! Je n’ai pas eu besoin de demander aux élèves si cela leur plaisait ! Ils venaient me le dire. Nous avons eu le droit à une introduction avec un étudiant en mathématiques qui nous a expliqué un coin dévolu à Pythagore : des puzzle divers et variés permettaient de visualiser le célèbre théorème. Les élèves ont observé avec attention l’utilité de la corde à 12 nœuds tout en ne manquant pas de remarquer la différence dans le formalisme du théorème de Pythagore entre les deux pays, Allemagne et France.

Dans ce musée, on trouve pêle-mêle : triangle de Penrose, ruban de Möbius, théorie des graphes, triangle de Reuleaux, nombre premiers, Pi, illusions d’optique, bulles de savons, etc.

Pour ceux qui auraient envie de voir l’exposition sans passer le Rhin, sachez qu’il existe une version itinérante, actuellement accueilli par Le Vaisseau à Strasbourg.

J’espère que le musée français sera à la hauteur de l’initiative lancée par Albert Beutelspacher, il y a maintenant 12 ans !

PS : beaucoup des objets mathématiques présents dans ce musée (et cités plus hauts) avaient été traités dans mes cours de DNL. Des article à venir…

Crédits images :

  1. PaternitéPartage selon les Conditions Initiales Certains droits réservés par sacratomato_hr
  2. w:en:Creative Commons
    attribution share alike  Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Germany par Renate Schmid

Essayons donc d’extraire une racine à la main !

photo-main-racineTel était l’objectif suite à la question : « Monsieur, quand ils n’avaient pas de calculatrice avant, comment faisaient-ils pour extraire une racine ? » La question avait été posée en 4ème, j’ai répondu l’année suivante lorsque les élèves étaient en 3ème.

Et bien ils utilisaient des méthodes d’approximation : on peut citer la dichotomie par exemple (méthode qui a d’ailleurs été spontanément proposée par un élève). Il s’agit de chercher la racine par tâtonnement mais de façon systématique : par exemple, on sait que la racine carrée de 2 va être un nombre compris entre 1 et 2 car 1²=1 et 2²=4.

On choisit donc un nombre entre 1 et 2 : 1,5 et on regarde combien vaut 1,5². Comme 1,5² est plus grand que 2, on en déduit que la racine de 2 est entre 1 et 1,5. On choisit 1,25 et on continue. On s’approche à chaque fois de la racine de 2 d’un peu plus près.

Mais ce n’est pas cette méthode d’approximation que j’ai souhaité utiliser avec les élèves. Pour que cela aie du sens dans le programme de 3ème, j’ai choisi la méthode d’approximation dite « de Newton ». Celle-ci est valable avec toute fonction f dont on chercherait les zéros : on cherche les solutions de f(x)=0.

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Bonheur du prof : retrouver à la main toutes les formules nécessaires

Ici f(x)=x²-2. On cherche la solution positive. J’avais fourni le graphe de la fonction (voir fiche en fin de billet) mais on pourrait prévoir une version numérique de l’exercice avec l’aide de GeoGebra ou autre traceur (comme Desmos).

J’avais commencé à rédiger pour ce billet une explication détaillée de la méthode, mais finalement, une petite video qui parle d’elle même (enfin c’est moi qui parle…) :

Dans un prochain article, je vous décrirai comment on peut calculer le cosinus à la main, en 3ème toujours.

Voici la fiche élève utilisée lors de la séance :

Wurzel2

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