Essayons donc d’extraire une racine à la main !

photo-main-racineTel était l’objectif suite à la question : « Monsieur, quand ils n’avaient pas de calculatrice avant, comment faisaient-ils pour extraire une racine ? » La question avait été posée en 4ème, j’ai répondu l’année suivante lorsque les élèves étaient en 3ème.

Et bien ils utilisaient des méthodes d’approximation : on peut citer la dichotomie par exemple (méthode qui a d’ailleurs été spontanément proposée par un élève). Il s’agit de chercher la racine par tâtonnement mais de façon systématique : par exemple, on sait que la racine carrée de 2 va être un nombre compris entre 1 et 2 car 1²=1 et 2²=4.

On choisit donc un nombre entre 1 et 2 : 1,5 et on regarde combien vaut 1,5². Comme 1,5² est plus grand que 2, on en déduit que la racine de 2 est entre 1 et 1,5. On choisit 1,25 et on continue. On s’approche à chaque fois de la racine de 2 d’un peu plus près.

Mais ce n’est pas cette méthode d’approximation que j’ai souhaité utiliser avec les élèves. Pour que cela aie du sens dans le programme de 3ème, j’ai choisi la méthode d’approximation dite « de Newton ». Celle-ci est valable avec toute fonction f dont on chercherait les zéros : on cherche les solutions de f(x)=0.

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Bonheur du prof : retrouver à la main toutes les formules nécessaires

Ici f(x)=x²-2. On cherche la solution positive. J’avais fourni le graphe de la fonction (voir fiche en fin de billet) mais on pourrait prévoir une version numérique de l’exercice avec l’aide de GeoGebra ou autre traceur (comme Desmos).

J’avais commencé à rédiger pour ce billet une explication détaillée de la méthode, mais finalement, une petite video qui parle d’elle même (enfin c’est moi qui parle…) :

Dans un prochain article, je vous décrirai comment on peut calculer le cosinus à la main, en 3ème toujours.

Voici la fiche élève utilisée lors de la séance :

Wurzel2

Wurzel2

 

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2 réflexions au sujet de « Essayons donc d’extraire une racine à la main ! »

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