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Quand la conjecture est fausse !

Aujourd’hui, je n’ai pas beaucoup de temps pour écrire un article plus conséquent alors je vous livre cette petite curiosité mathématique. Il s’agit de montrer aux élèves que leur intuition peut être prise en défaut. On considère un cercle comme sur cette illustration :

ConjectureOn s’intéresse alors au procédé suivant : On place n points sur le cercle et on relie les n points ensemble. Le disque se retrouve alors partagée en plusieurs zones. On voit clairement sur l’illustration ci-dessus que quatre points engendrent huit zones. Je vous laisse compter les autres… mais surtout, prenez le temps de faire une sixième et dernière étape avant de conclure trop hâtivement une règle qui n’en est pas une.

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Calcul mental en allemand

Ce projet a été mené en 2013/2014. J’enseignais alors les mathématiques en allemand. En fin d’année scolaire, j’avais déjà commencé utiliser Twitter avec les 6ème. Nous avions adapté une carte de mentale faite par les élèves de François Lamoureux (@francoislmrx) au niveau 6ème en passant en langue allemande.

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Un musée pour les mathématiques

1 Triangle de Penrose dans un musée

Dernièrement, Cédric Villani a annoncé sa volonté de créer un musée des mathématiques sur le site de l’institut Poincaré à Paris : http://www.sciencesetavenir.fr/fondamental/20140627.OBS1981/cedric-villani-annonce-la-creation-d-un-musee-des-mathematiques-a-paris.html

2 Cédric Villani

Mais sachez qu’il existe d’ors et déjà au moins deux autres musées des mathématiques dans le monde :

Une visite au Mathematikum était au programme d’un séjour de deux jours autour de Francfort avec des 4èmes et des 3èmes du collège en Avril dernier.
Je n’avais pas pu me rendre au musée avant et j’étais un peu tendu : cela allait-il être à la hauteur de notre public exigeant ? Les expériences seraient-elles ludiques ? Ma déception devant l’exposition « maths » de la cité des sciences et de l’industrie serait-elle gommée ?

Et bien, oui, un grand OUI même ! Je n’ai pas eu besoin de demander aux élèves si cela leur plaisait ! Ils venaient me le dire. Nous avons eu le droit à une introduction avec un étudiant en mathématiques qui nous a expliqué un coin dévolu à Pythagore : des puzzle divers et variés permettaient de visualiser le célèbre théorème. Les élèves ont observé avec attention l’utilité de la corde à 12 nœuds tout en ne manquant pas de remarquer la différence dans le formalisme du théorème de Pythagore entre les deux pays, Allemagne et France.

Dans ce musée, on trouve pêle-mêle : triangle de Penrose, ruban de Möbius, théorie des graphes, triangle de Reuleaux, nombre premiers, Pi, illusions d’optique, bulles de savons, etc.

Pour ceux qui auraient envie de voir l’exposition sans passer le Rhin, sachez qu’il existe une version itinérante, actuellement accueilli par Le Vaisseau à Strasbourg.

J’espère que le musée français sera à la hauteur de l’initiative lancée par Albert Beutelspacher, il y a maintenant 12 ans !

PS : beaucoup des objets mathématiques présents dans ce musée (et cités plus hauts) avaient été traités dans mes cours de DNL. Des article à venir…

Crédits images :

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Essayons donc d’extraire une racine à la main !

photo-main-racineTel était l’objectif suite à la question : « Monsieur, quand ils n’avaient pas de calculatrice avant, comment faisaient-ils pour extraire une racine ? » La question avait été posée en 4ème, j’ai répondu l’année suivante lorsque les élèves étaient en 3ème.

Et bien ils utilisaient des méthodes d’approximation : on peut citer la dichotomie par exemple (méthode qui a d’ailleurs été spontanément proposée par un élève). Il s’agit de chercher la racine par tâtonnement mais de façon systématique : par exemple, on sait que la racine carrée de 2 va être un nombre compris entre 1 et 2 car 1²=1 et 2²=4.

On choisit donc un nombre entre 1 et 2 : 1,5 et on regarde combien vaut 1,5². Comme 1,5² est plus grand que 2, on en déduit que la racine de 2 est entre 1 et 1,5. On choisit 1,25 et on continue. On s’approche à chaque fois de la racine de 2 d’un peu plus près.

Mais ce n’est pas cette méthode d’approximation que j’ai souhaité utiliser avec les élèves. Pour que cela aie du sens dans le programme de 3ème, j’ai choisi la méthode d’approximation dite « de Newton ». Celle-ci est valable avec toute fonction f dont on chercherait les zéros : on cherche les solutions de f(x)=0.

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Bonheur du prof : retrouver à la main toutes les formules nécessaires

Ici f(x)=x²-2. On cherche la solution positive. J’avais fourni le graphe de la fonction (voir fiche en fin de billet) mais on pourrait prévoir une version numérique de l’exercice avec l’aide de GeoGebra ou autre traceur (comme Desmos).

J’avais commencé à rédiger pour ce billet une explication détaillée de la méthode, mais finalement, une petite video qui parle d’elle même (enfin c’est moi qui parle…) :

Dans un prochain article, je vous décrirai comment on peut calculer le cosinus à la main, en 3ème toujours.

Voici la fiche élève utilisée lors de la séance :

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Autour d’un petit livre au contenu extensible

Annika Meike Wille. Ein Dreieck, ein Viereck, ein Fünfeck, was nun?

Voici la suite de l’article sur la genèse d’un projet : https://adrienguinemer.wordpress.com/2013/09/26/genese-dun-projet-projetlivre/.

Il s’agit d’une séquence pluri-disciplinaire : allemand (Aurore Berton), arts plastiques (Magalie Mareau) et mathématiques DNL en allemand (Adrien Guinemer). Dans la genèse du projet, je ne vous parlais pas l’utilisation en arts plastiques. Et pour cause, j’attendais la rentrée pour présenter l’idée au nouveau collègue. Par chance, le jeu des mutations a mis sur notre chemin une personne agréable, compétente et très encline à travailler en équipe comme en témoignent les nombreux projets montés avec les uns et avec les autres.

La première séance maths-allemand consistait donc en une lecture/étude de la première partie du livre avec les enseignants d’allemand et de mathématiques DNL :

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Les élèves ont produit des choses déjà fort sympathiques et se sont montrés très réceptif au projet :

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Ensuite en mathématiques, nous avons expérimenté les pavages ainsi que la construction des solides platoniciens :

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Cela a donné lieu par ailleurs à la production de deux petites vidéos par deux élèves ce qui a permis entre autre d’évoquer les droits d’auteur. En effet, Annika WIlle, auteur du livre, ne souhaitait pas, à raison, mettre en ligne la première vidéo qui contenait un titre musical actuel et protégé. Ainsi deux élèves ont fait une autre vidéo avec une musique dont elles se sont procurées les droits :

Enfin en mathématiques, il y avait au programme deux réalisations artistiques pendant que les élèves en faisaient d’autres en arts plastiques :

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En allemand, les élèves ont étudié le livre, écouté les messages audio de l’auteur Annika Wille, enregistré des messages pour l’auteur après l’étude du livre, préparé l’exposition des travaux dans le cadre des journées portes ouvertes du collège. Un sacré travail à partir de ce livre !

En arts plastiques, les élèves ont fait évolué leurs productions de départ petit à petit dans le cadre d’objectifs pédagogiques précis relatifs au programmes officiels. En témoignent ces photos :

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Enfin, pour couronner le tout, nous avons présenté le projet au concours organisé par le Café pédagogique : http://forum-bordeaux2014.net/ et j’irai représenter le projet, le collège et les collègues dans le cadre de ce forum des enseignants innovants et de l’innovation pédagogique.

J’espère que d’autre collègues sauront s’inspirer de ce projet. Le livre venant d’être traduit en anglais sera disponible prochainement en allemand et en anglais en Apple-App via http://www.dooda-books.com/ en attendant la version française.

Pourquoi pas l’étudier avec d’autres classes, en français ?
Pourquoi pas vous ?

Qui veut gagner des millions ? (Partie 3)

Je sais qu’il est bien malpoli de vous avoir laissés ainsi sur votre faim. Depuis si longtemps, je n’ai pas pris le temps de reprendre la plume pour vous écrire un mot.

Voici donc la fin de cette séquence millionnaire :

Les élèves devaient ramener une photo d’eux bébé ou très petit. Cela a permis de sourire aux uns et aux autres. Bien évidemment, les éternelles têtes de linottes avaient oublié la photo. C’est là que mon fils de 10 mois m’a donné un sacré coup de main ! Une photo de lui, affichée grâce au vidéoprojecteur, et hop, le tour était joué.

Tout le monde a pris sa règle et mesuré les parties de son corps sur la photo. Bien évidement, la question n’a pas tardé : « Mais Monsieur, comme c’est une photo, cela va être faux ! Ma main, elle ne faisait pas 8 mm !  » L’occasion pour moi de revenir la proportionnalités, les proportions, la mise à l’échelle. On a fait le point avec tout le monde pour bien comprendre que ce n’était pas grave que la main fasse 8 millimètre car ce qui nous intéressait c’était les rapports de longueur et pas les longueur elles-même.

Une fois les mesures terminées, les élèves ont rempli le tableau (cf Partie 2) pour pouvoir conclure et revenir au problème initial. C’est là que la collaboration avec ma collègue d’allemand commence (enfin pour cette séquence, car je vous rassure nous travaillons ensemble depuis plus longtemps que ça !) .

Les collègues de langue ont l’habitude de terminer leurs séquences par une « tâche finale ». Celle-ci peut être un diaporama, une affiche, un film, une production audio, cela n’a pas de limite. Et donc, ici l’idée est d’obtenir des productions d’affiche.

La consigne est simple : sur l’affiche, en titre, « Wer wird Millionnär ? » puis deux parties : l’une présente la question, l’autre présente la réponse. Les élèves peuvent utiliser un schéma, un tableau, une photo, du texte ou toute autre chose qu’ils jugent à même d’expliquer au mieux la réponse.

Voici leurs productions ( merci à Rodolphe pour les photos ) : image125 image124 image123 image122 image121 image120 image119 image118 image117 image116

Hum, mais toujours pas de prof d’allemand à l’horizon. Patience, ça vient ! Sous la forme d’un cours en tandem. Elle et moi, moi et elle, deux profs au tableau ou qui se promènent dans la salle. Les élèves doivent présenter les affiches. Je surveille l’aspect mathématique pendant que ma collègue anime le débat et surveille l’aspect linguistique sans que cela n’empêche l’un d’intervenir dans le « domaine » de l’autre.

Les élèves ont ensuite voté pour la meilleure production. Ils ont critiqué, et positivement, et négativement. Un travail en plein dans la DNL : des mathématiques, de l’allemand, de la « culture allemande » et surtout du plaisir, beaucoup de plaisir !

Plaisir du prof, plaisir des élèves, plaisir en salle des profs.

D’où la genèse du projet livre. Celui-ci est d’ailleurs bien entamé. Un billet dessus très vite, c’est promis !

Qui veut gagner des millions ? (Partie 2)

La première séance consiste donc au visionnage de la vidéo et l’explication de la question :

Pour ceux qui n’auraient pas suivi le premier épisode, la question est : Qu’est-ce qui représente un quart de la longueur du corps d’un bébé et plus qu’un huitième à l’âge adulte ?
La main, la tête, la jambe ou le gros orteil ?

J’en profite pour présenter l’émission et son présentateur (très connu et très populaire en Allemagne) avec la complicité de deux élèves allemands et aficionados de l’émission (heureusement ils ont raté cet épisode et vont devoir se creuser les méninges comme les autres !)

Nous nous quittons donc avec la question en suspens. Un certain nombre d’élèves penche déjà vers la bonne réponse (allez je vous le dis, c’est la tête 😉 ). La seconde séance et les suivantes consistent en la mise en place d’une stratégie d’expérimentation permettant d’avoir une « intuition » de la réponse. Bien évidemment, Günther Jauch livre avec son show de présentateur une excellente idée : les élèves vont se mesurer et calculer les rapports que constituent leurs parties du corps par rapport à la taille complète du corps.

Direction le magasin de bricolage le plus proche pour se procurer des mètres en papier. Vous n’imaginez pas comme les élèves aiment à expérimenter en cours de mathématiques. Cela leur paraît tellement incongru (bon en même temps les miens commencent à avoir à l’habitude, je l’avoue…) . Ils sont en action dans le cours de mathématiques en allemand, se mesurent les uns les autres. Voici la fiche de travail distribuée à cette occasion :

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Dans un premier temps, je demande aux élèves de noter la question et les réponses. Puis ils ont deux tableaux à leur disposition pour inscrire d’une part les mesures (Messungen) , d’autre part les rapports (Brüche).

Certains auront peut-être remarqué la colonne « Bei der Geburt », à la naissance. Je vous expliquerai donc en partie 3 comment nous avons mesuré mes élèves à la naissance (ou presque…) .