Des fractions, des élèves en position de chercheurs, plaisir de prof

Fractional Hugs and Kisses Scott Robinson, CC BY 2.0 https://flic.kr/p/6kJ5k

Fractional Hugs and Kisses
Scott Robinson, CC BY 2.0
https://flic.kr/p/6kJ5k

Ce n’est pas la première fois que je fais cette activité en classe. Mes cobayes étaient en quatrième et je trouvais l’exercice alors trop difficile. Puis je l’ai proposée à des jeunes troisièmes. Déjà deux fois. À chaque fois, les élèves m’épatent par leur comportement face à ce problème où chacun peut faire quelque chose.

Il s’agit d’un problème ouvert :

Peut-on trouver deux entiers a et b tels que Capture du 2015-10-01 10:56:40 ?

Peut-on trouver trois entiers a, b et c tels que Capture du 2015-10-01 10:57:22 ?

Continue…

L’idée avec ce problème est de voir où en sont les élèves avec les fractions. En particulier, on peut faire le point sur l’addition mais aussi le sens de cette écriture.

Pour la mise en œuvre de la séance, je commence par expliquer aux élèves que je vais leur distribuer une petite feuille avec un exercice. Et qu’ensuite, ils auront cinq minutes de réflexion individuelle et en silence. Une fois cette période écoulée, viens alors un temps où nous levons les éventuelles incompréhensions qui auraient empêché certains de faire quoi ce soit puis je propose aux élèves de se mettre par groupes (ici de deux ou trois élèves, l’an passé, ils étaient plutôt quatre).

Puis on laisse la magie opérer. Et c’est le plus important. Laisser l’élève faire, chercher, se tromper, errer. Au risque de brider leur créativité. C’est à mon avis un élément important de la mise en œuvre de ce type de séances :  le lâcher-prise du professeur.

Néanmoins je passe entre les groupes. J’observe, je commente un peu, je relance, je donne la suite des consignes. J’explique que non, la solution triviale n’est pas forcément la seule. Mais que si c’est la seule, on pourrait essayer de le prouver…

Avec cet exercice on voit bien quand l’élève écrit 1/0 ou 1/2+1/3=2/5. On peut en parler, expliquer les démarches d’essai erreur. Ce que j’adore faire, c’est dire à mes élèves qu’ils sont en train de faire le même travail de que des mathématiciens : chercher, conjecturer, démontrer, formuler, expliquer, communiquer.

Cette fois-ci, les élèves ont été particulièrement prolifiques et cela en deux temps : après cette première séance, j’ai demandé à chaque élève de rédiger une synthèse des travaux du groupe (et pas seulement des résultats). Le lendemain, ils sont passés au tableau. Il a fallu que je désigne le premier mais ensuite, ils ont pris la séance en main ! Ils demandaient des explications à celui présentait et surtout, ensemble, ils développaient d’autres solutions. C’était extraordinaire d’être témoin de ce moment de création mathématique. Je n’avais pas prévu de faire durer la période de restitution mais finalement, j’ai laissé les choses se dérouler ainsi car les élèves avaient magnifiquement pris les commandes de la séance.

C’était hier et, par un heureux hasard, j’ai trouvé le moyen de prolonger la réflexion des élèves sur ce travail. Cela sera la séance de vendredi. J’espère pouvoir vous raconter la semaine prochaine…

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