Les triangles de Reuleaux

TriangleReuleauxAvant je ne connaissais pas les triangles de Reuleaux. Avant, c’était quand je n’allais pas régulièrement sur le site Image des maths du CNRS et qui j’y trouvais des idées de cours. J’ai déjà pu parler ici de ce site. Voici le lien vers l’article original.

Mais si je ne connaissais pas encore l’objet mathématiques, j’avais déjà vu l’une de ses applications : le moteur Wankel.

Ce moteur rotatif fonctionne avec trois chambres simultanément au lieu d’une seule avec le système

traditionnel des pistons. J’arrêterai là mon exposé car mes connaissances en mécanique sont malheureusement bien maigres bien qu’ayant entamé des études ingénierie mécaniques pendant 18 mois à Karlsruhe en Allemagne. C’est d’ailleurs là que j’avais fait la découverte de ce moteur.

Enfin, à la lecture d’un article publié par l’APMEP, je suis retombé sur le triangle de Reuleaux dans un exercice autour d’une aiguille qui pourrait se balader dans une forme donnée, les formes géométriques à largeur constante en somme.

Pour présenter cela, je suis parti d’une question concrète : pourquoi les plaques d’égout sont-elles rondes ? C’est tout simplement pour qu’elles ne tombent pas dans le trou. Le mathématicien se demande alors si c’est la seule forme géométrique avec cette propriété. Cette propriété peut être formulée ainsi : Une forme géométrique ne «tombe pas dans le trou » si pour tout point du bord, la distance maximale à un autre point du bord est toujours la même. Pour un cercle, c’est évident. Pour chaque point, la distance maximale est la longueur du diamètre et celle-ci est bien sûr toujours la même. Mais ensuite ?

Prenons l’exemple d’un triangle équilatéral :

Regardons ce qui se passe avec le sommet. Alors, la distance maximale est la longueur du coté du triangle équilatéral. Mais si je prends un point d’un coté autre qu’un sommet, la distance maximale est celle qui sépare le point du sommet opposé. Arrondissons alors chaque côté, on obtient un triangle de Reuleaux qui sera lui de largeur constante. Je vous laisse le vérifier.

En fait, on peut généraliser cette construction du triangle de Reuleaux à un nombre impair de points.

Exemple pour 5 points :

PentagoneReuleaux

Exemple pour 11 points :11Reuleaux

Finalement, les élèves étaient dans une démarche de problème ouvert guidé. On pourrait réessayer en les laissant chercher les formes de plaques d’égout possibles. Cela pourrait presque faire l’objet d’un problème type Maths en Jeans.

Pour cette séquence, j’ai usé et abusé des outils numériques comme le VPI ou GeoGebra. GeoGebra permet des constructions rigoureuses de façon relativement simple . Ces constructions ensuite intégrées au logiciel du VPI peuvent être annotées, coloriées ou autre.

Avec les élèves, nous avons pu retrouver ces constructions dans le musée Mathematikum lors de la sortie racontée ici.

Publicités

2 réflexions au sujet de « Les triangles de Reuleaux »

  1. Ping : Les triangles de Reuleaux | Planet-éducalibre

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s